Matemàtiques

Data: dissabte 10 de gener, 2026.

Horari: de 10h a 14h.

Lloc: Facultat de Matemàtiques i Estadística, UPC.

Coordinació de la sessió: Albert Granados.

Sessió a càrrec de: Anton Aubanell, Jordi Font, Sergi Múria, Francesc Massich, Manel Martínez (Grup Cúbic).

Idioma: català.

Aquesta sessió ens convidarà a fer un recorregut per diverses experiències matemàtiques que tenen en comú el fet de convidar a l'acció a partir de materials manipulables o a través de role-plays: farem triangulacions, admirarem els diagrames de Voronoi, descobrirem el punt de Fermat construint-lo amb fils i fent bombolles de sabó, estudiarem el vol d'un falcó i traçarem corbes de persecució, construirem un arbre pitagòric, muntarem un icosaedre gegant, ens convertirem en punts del pla i veurem si complim condicions albegraiques sobre les nostres coordenades, gaudirem de passejades aleatòries... i, fins i tot, farem volar tors de fum.

Sessió 2. Corbes i superfícies

Data: dissabte 17 de gener, 2026.

Horari: de 10h a 14h.

Lloc: Facultat de Matemàtiques i Estadística, UPC.

Coordinació de la sessió: Albert Granados.

Sessió a càrrec de: Bernat Ancochea (Associació Catalana de Geogebra).

Idioma: català.

Sentim a parlar de conceptes que sovint generen certa confusió: equacions, funcions, corbes, paràmetres... Quina relació hi ha entre ells? Sabeu que són eines que ens permeten construir superfícies de tot tipus? Coneixeu les superfícies reglades i les superfícies de revolució? Estan per tot arreu i segurament no ho sabíeu! Amb la versió 3D del programa GeoGebra veurem com podem generar superfícies, modificar-les fent servir paràmetres i veure-les en realitat augmentada. No calen coneixements del programa. Només l'haureu de descarregar perquè el fareu servir en una altra sessió.

Sessions 3 i 4. Geometria no euclidiana I i II

Data: dissabtes 24 i 31 de gener, 2026.

Horari: de 10h a 14h.

Lloc: Facultat de Matemàtiques i Estadística, UPC.

Coordinació de la sessió: Albert Granados.

Sessió a càrrec de: Pablo Nicolás (UPC).

Idioma: català.

Introduirem la geometria no euclidiana com a exemple paradigmàtic de l'evolució del pensament matemàtic. Començarem revisant la geometria euclidiana i els seus axiomes, per entendre què canvia quan explorem altres sistemes geomètrics. Coneixerem la geometria de Lobatchevsky i models visuals com el disc de Poincaré, i descobrirem altres geometries exòtiques per il·lustrar conceptes com la mètrica. Finalment, treballarem amb exercicis pràctics per verificar teoremes i explorar aplicacions sorprenents d'aquestes geometries.

Sessió 5. Les formes que ens envolten

Data: dissabte 7 de febrer, 2026.

Horari: de 10h a 14h.

Lloc: Facultat de Ciències, UAB.

Coordinació de la sessió: Albert Granados.

Sessió a càrrec de: Natàlia Castellana (UAB).

Idioma: català.

La topologia és una de les branques clàssiques més joves de les matemàtiques. Breument, és la part de la matemàtica que estudia les propietats que són inherents a la forma dels objectes i que, més enllà de la seva rigidesa, no s’alteren quan els deformem. Per apropar-nos per primer cop a aquesta part de les matemàtiques ens preguntem: per a quins problemes trucaries a un topòleg?

Farem junts un petit “tour” per problemes diversos (històrics i inventats) en els quals veurem com aquest tipus de propietats juguen un paper fonamental en la seva resolució. Al mateix temps descobrirem alguns protagonistes cèlebres de la història de les matemàtiques. Penjarem quadres, farem trenes i nusos: embolica que fa fort!

Sessió 6. Els primers del dia a dia

Data: dissabte 14 de febrer, 2026.

Horari: de 10h a 14h.

Lloc: Facultat de Ciències, UAB.

Coordinació de la sessió: Albert Granados.

Sessió a càrrec de: Marc Masdéu (UAB).

Idioma: català.

Explorarem algunes aplicacions de la teoria de nombres que, potser sense saber-ho, fem servir a diari. Començarem repassant l'aritmètica modular i algunes aplicacions a la criptografia. Explicarem la dificultat del problema de la factorització, i que és i per què serveixen els tests de primalitat.

Sessió 7. L’àlgebra en el tractament dels errors

Data: dissabte 21 de febrer, 2026.

Horari: de 10h a 14h.

Lloc: Facultat de Matemàtiques i Estadística, UPC.

Coordinació de la sessió: Albert Granados.

Sessió a càrrec de: Maria Bras (UPC).

Idioma: català.

La teoria de codis tractava inicialment el disseny i la implementació de codis amb bona capacitat de corregir errors de transmissió o emmagatzematge, però que suposessin un baix cost computacional i d'enviament, així com els seus algoritmes correctors.

En aquesta xerrada explicarem com, a part de les aplicacions inicials, els codis també s‘utilitzen avui en dia en altres escenaris, com són l'esteganografia, els esquemes de compartició de secrets i l'emmagatzematge distribuït.

Sessió 8. Quan les matemàtiques garanteixen ciberseguretat

Data: dissabte 28 de febrer, 2026.

Horari: de 10h a 14h.

Lloc: Facultat de Matemàtiques i Estadística, UPC.

Coordinació de la sessió: Albert Granados.

Sessió a càrrec de: Oriol Farràs (URV).

Idioma: català.

L’objectiu de la criptografia és garantir comunicacions segures en presència d'adversaris. En el taller de criptografia introduirem els principals problemes matemàtics que sostenen la criptografia i experimentarem amb criptosistemes i protocols actuals. Veurem el funcionament de les blockchains i els canvis previstos per protegir-nos d’atacs quàntics.

Posteriorment, ens endinsarem en les corbes el·líptiques, que són un dels elements utilitzats en la tecnologia blockchain. Veurem com es defineixen, quines propietats tenen i com s'utilitzen per realitzar signatures digitals.

Finalment, explicarem com les signatures digitals i les funcions hash es combinen, juntament amb altres mecanismes, per poder crear una criptomoneda descentralitzada i segura, com per exemple, el Bitcoin.

Sessió 9. Resolució de problemes

Data: dissabte 7 de març, 2026.

Horari: de 10h a 14h.

Lloc: Facultat de Ciències, UAB.

Coordinació de la sessió: Albert Granados.

Sessió a càrrec de: Dolor Herbera (UAB).

Idioma: català.

Sessió 11. Teoria de Jocs: matemàtiques aplicades al comportament humà

Data: dissabte 21 de març, 2026.

Horari: de 10h a 14h.

Lloc: Facultat de Ciències, UAB.

Coordinació de la sessió: Albert Granados.

Sessió a càrrec de: Antoni Magaña (UPC).

Idioma: català.

Explicar què és la Teoria de Jocs i els tipus de problemes que estudia. Parlarem dels jocs no cooperatius --situacions de competència en les quals el benefici que obté un participant produeix un perjudici als altres-- i dels jocs cooperatius --situacions en les quals els participants poden arribar a acords per actuar de manera coordinada i obtenir així més utilitat que la que obtindrien actuant individualment.

Veurem exemples dels diferents tipus de jocs i també de les solucions que proposa la Teoria de Jocs. De fet, ens centrarem en dos conceptes de solució: l'equilibri de Nash per al cas dels jocs no cooperatius i el valor de Shapley per als jocs cooperatius. També veurem una aplicació interessant dels jocs cooperatius: calcular el poder de cada participant en un organisme que pren decisions mitjançant votacions (com un Parlament, per exemple).

Però quedem-nos amb el model dels humans imperfectes, i explorem resultats importants de la probabilitat i l'estadística que es basen en successions de cares i creus, per exemple,

* Els experiments completament aleatoritzats: un experiment compara l'efecte d'un nou medicament (droga) contra un medicament estàndard. Els pacients han d'assignar-se al grup que rep el nou o l’ antic aleatoritzant. Estudiarem com decidir si les possibles diferències entre tots dos es deuen purament a l'atzar, o si hi ha un efecte diferent entre tots dos.

* Si acceptem que qui llança la moneda ho fa de manera totalment aleatòria, la proporció de cares i creus en una successió llarga de llançaments s'hauria d'acostar a 1/2. Com podem comprovar si això és cert? O podrem assegurar el llançador té tendència a obtenir sistemàticament més cares que creus?

* Perceben les dones (de mitjana) un millor salari que els homes en una mateixa feina?

Tots aquests problemes es poden resoldre a partir de l'estudi del comportament de successions de cares i creus.  Això i potser coses una mica més sofisticades farem al llarg de la xerrada i el taller.

Sessió 10. IDM 2026: jugant amb les matemàtiques

Data: dissabte 14 de març, 2026.

Horari: de 10h a 14h i tallers per la tarda.

Lloc: Facultat de Matemàtiques i Informàtica, UB.

Coordinació de la sessió: Albert Granados.

Sessió a càrrec de: Societat Catalana de Matemàtiques.

Idioma: català.

Sessió en motiu del Dia Internacional de les Matemàtiques.

Sessió 12. La teoria de conjunts: els fonaments de la matemàtica i la matemàtica de l’infinit

Data: dissabte 11 d'abril, 2026.

Horari: de 10h a 14h.

Lloc: Facultat de Matemàtiques i Informàtica, UB.

Coordinació de la sessió: Albert Granados.

Sessió a càrrec de: Alejandro Poveda (UB).

Idioma: català.

Els objectes matemàtics, els nombres, les figures geomètriques, les estructures algebraiques, els espais topològics, etc. Què són, com sabem que existeixen i com és que podem estudiar les seves propietats? I els teoremes que demostrem, com sabem que són vertaders? Quin són els raonaments matemàtics correctes? La resposta a aquestes preguntes es troba en la lògica i la teoria de conjunts. La lògica matemàtica ens diu quins són els raonaments i les demostracions correctes, i què podem demostrar i que no a partir dels axiomes que tenim. Els teoremes d’incompletesa de Gödel ens diuen que tota teoria matemàtica consistent i que conté l’aritmètica elemental és incompleta, que vol dir que hi han veritats matemàtiques que no podem demostrar a partir dels axiomes de la teoria. Així doncs, la matemàtica és sempre incompleta, i sempre hi han enunciats matemàtics que per saber si són vertaders o no, calen nous axiomes.

La teoria de conjunts ens diu quins són els axiomes de la matemàtica i què podem i què no podem demostrar a partir d’ells. Moltes preguntes fonamentals, com ara la Hipòtesi del Continu de Cantor, que diu que tot conjunt infinit de punts de la recta real és o bé numerable (es pot

comptar) o bé té el mateix nombre de punts que tota la recta, no es poden decidir amb els axiomes usuals: la teoria de conjunts de Zermelo-Fraenkel amb l’Axioma d’Elecció (o ZFC). Cal doncs estendre la teoria amb nous axiomes si volem donar resposta a aquestes i moltes altres preguntes. Però d’on surten els nous axiomes? Com els podem trobar? I com podem saber si són vertaders? Els axiomes més importants que van més enllà de ZFC són els “axiomes de grans cardinals” que ens diuen que existeixen nombres cardinals infinits molt grans, tan grans que la seva existència no es pot demostrar a partir dels axiomes de ZFC.

L’infinit és doncs aquí el concepte matemàtic fonamental, i veurem amb exemples com l’infinit matemàtic és alhora fascinant i paradoxal.

Sessió 13. Les trifulgues del càlcul

Data: dissabte 18 d'abril, 2026.

Horari: de 10h a 14h.

Lloc: Facultat de Matemàtiques i Estadística, UPC.

Coordinació de la sessió: Albert Granados.

Sessió a càrrec de: Mònica Blanco (UPC).

Idioma: català.

El desenvolupament del càlcul a finals del segle XVII, gràcies a les contribucions d’Isaac Newton i Gottfried W. Leibniz, representa un moment clau en la història de les matemàtiques. No obstant això, abans ja s’havien desenvolupat eines de “càlcul”, d'una gran imaginació. A més de la determinació d’àrees i volums, també es van afrontar nous reptes, com la construcció de tangents o la resolució de problemes de màxims i mínims, que van generar una gran varietat de tècniques innovadores. L’objectiu principal d’aquesta sessió és mostrar alguns trets del desenvolupament històric del càlcul com a disciplina i els contextos històrics on va adquirir el seu significat.

Sessió 14. Fractals colineals

Data: dissabte 25 d'abril, 2026.

Horari: de 10h a 14h.

Lloc: Facultat de Matemàtiques i Informàtica, UB.

Coordinació de la sessió: Albert Granados.

Sessió a càrrec de: per determinar.

Idioma: català.

Iniciarem la sessió amb una explicació accessible per a tots els públics sobre la meva recerca en fractals col·lineals. Aquestes estructures geomètriques es generen a partir de la iteració de n funcions lineals. Un aspecte especialment interessant és que darrere del conjunt de connectivitat dels fractals col·lineals de n peces s’amaga el conjunt d’arrels de tots els polinomis amb coeficients enters compresos entre -n+1 i n-1.

Aquestes arrels tenen un paper fonamental en matemàtiques, abastant des de la teoria de nombres fins a aplicacions en computació i criptografia. Durant la xerrada, els alumnes descobriran com aquests conceptes abstractes es connecten entre ells i com poden utilitzar eines computacionals per explorar-los en profunditat.

Activitat Pràctica: Exploració Computacional

Després de la xerrada, realitzarem una activitat pràctica utilitzant el Wolfram Cloud, una eina potent i accessible per a exploracions computacionals. Els alumnes només necessitaran registrar-se gratuïtament a través del següent enllaç: https://www.wolframcloud.com/.

Passos de l’activitat:

      1.    Registre: Cada alumne es registrarà gratuïtament al Wolfram Cloud.

      2.    Accés al Notebook: Des de la meva compte, compartiré un “notebook” que contindrà exemples i una sèrie d’exploracions computacionals dissenyades per aprofundir en el tema dels fractals col·lineals.

      3.    Exploració Dinàmica: Els alumnes podran interactuar amb els exemples i realitzar les seves pròpies exploracions, descobrint les propietats dels fractals i les arrels dels polinomis associats.

      4.    Discussió i Reflexió: Finalitzarem amb una sessió de discussió on els alumnes podran compartir les seves descobertes i reflexionar sobre les implicacions dels conceptes apresos.

Per als futurs investigadors, aquesta sessió representa una oportunitat única per començar a explorar el fascinant món dels fractals col·lineals i la seva profunda connexió amb les arrels dels polinomis de coeficients enters. Els polinomis amb coeficients enters són objectes fonamentals en matemàtiques. Les arrels d’aquests polinomis sovint exhibeixen patrons fascinants i intricats en el pla complex. Aquesta sessió establirà un pont entre l’àlgebra i la geometria fractal. Tot i els avenços ja assolits, encara queden moltes propietats per descobrir, oferint un terreny ric per a noves investigacions. Us animo a endinsar-vos en aquest camp apassionant.

Sessió 15. Algunes idees de sistemes dinàmics i modelització

Data: dissabte 9 de maig, 2026.

Horari: de 10h a 14h.

Lloc: Facultat de Matemàtiques i Informàtica, UB

Coordinació de la sessió: Albert Granados.

Sessió a càrrec de: Arturo Vieiro (UB).

Idioma: català.

Els sistemes dinàmics, en general, estudien tot allò que es "mou en el temps", és a dir, l'evolució temporal d'una magnitud en un fenomen qualsevol.

La teoria de sistemes dinàmics té el seu origen històric a la mecànica celest. Actualment, és una branca de les matemàtiques que presenta interaccions amb moltes altres branques de les matemàtiques, com l'anàlisi, l'àlgebra i/o la topologia, i amb moltes disciplines científiques (astrodinàmica, biologia, neurociència, química, economia, etc). La metodologia d'estudi en tots els casos és semblant i preten obtenir una descripció local/global/topològica/etc. de l'evolució dels possibles estats del sistema (teoria qualitativa). La combinació de tècniques teòriques i numèriques ha esdevingut una eina essencial per aquest estudi.

En aquesta sessió introduirem algunes idees bàsiques de sistemes dinàmics, emfatitzant el punt de vista de la teoria qualitativa.

Sessió 16. Com i per què es pot viatjar a l'espai?

Data: dissabte 16 de maig, 2026.

Horari: de 10h a 14h.

Lloc: Facultat de Matemàtiques i Informàtica, UB.

Coordinació de la sessió: Albert Granados.

Sessió a càrrec de: Álvaro Fernández (UB).

Idioma: català.

La mecànica celeste intenta descriure els moviments dels cossos celestes (planetes, asteroides, satèl·lits naturals o artificials,..) sota l'acció de forces gravitatòries mútues. Més enllà del seu formalisme matemàtic, avui en dia les idees bàsiques de la mecànica celeste s'apliquen a la descripció de les reaccions químiques, del moviment de partícules atòmiques, als models en climatologia i, evidentment, a l'astrodinàmica, que permet elsviatges espacials. Introduirem els conceptes bàsics que permeten descriure el moviment dels planetes i explicarem les seves conseqüències en el moviment planetari. Treballarem alguns conceptes elementals relacionats amb el disseny de trajectòries en missions espacials. Com a aplicació comentarem alguns aspectes de la missió Cassini-Huygens, que té com a objectiu principal recollir informació de Saturn, els seus anells i llunes.

Sessions 17 i 18. Les matemàtiques del so I i II

Data: dissabtes 23 i 30 de maig, 2026.

Horari: de 10h a 14h.

Lloc: Facultat de Matemàtiques i Estadística, UPC.

Coordinació de la sessió: Albert Granados.

Sessió a càrrec de: Albert Granados Albert Granados (professor de secundària, INS Pere Vives / Universitat de Lleida).

Idioma: català.

Les ones han estat una de les principals fonts del desenvolupant matemàtic. Les tècniques que s'han desenvolupat al llarg dels segles, començant per les sèries de Fourier al segle XVII, han estat segurament les més utilitzades i transversals de la història. Aplicacions com la resolució d'equacions en derivades parcials (transmissió del calor, ones mecàniques, previsió del temps etc), telecomunicacions, la compressió d'imatges, animació per ordinador, tractament de dades en són alguns que, lluny de quedar obsoletes, les tècniques desenvolupades per Fourier són avui en dia més vives que mai. Sense anar més lluny, els nostres telèfons fan servir constantment algorismes basats en  la transformada de Fourier cada vegada que rebem un qualsevol dada.

En aquesta sessió veurem com a partir de qüestions abstractes com ara la distància entre funcions, el producte escalar de funcions i bases d’espais de funcions podem crear eines intuïtives que ens permeten analitzar sons i senyals.

Seria convenient que portéssiu auriculars!

Sessió 19. Matemàtiques per entendre el cervell

Data: dissabte 6 de juny, 2026.

Horari: de 10h a 14h.

Lloc: Museu del Tèxtil i l’Aigua, Manresa.

Coordinació de la sessió: Albert Granados.

Sessió a càrrec de: Gemma Huguet Casades (UPC).

Idioma: català.

Què passa en el nostre cervell quan la informació que ens arriba a través dels nostres sentits és ambigua? I com prenem decicions en aquest context?

En aquestes situacions, entren en joc diversos grups de neurones del cervell, especialitzats en diferents aspectes de la percepció i la presa de decisions. Les matemàtiques poden ajudar a entendre els mecanismes neuronals que intervenen en la generació de certs patrons d'activitat en aquests grups i comprovar com es correlacionen amb les nostres percepcions i decisions. Revisarem alguns dels models més clàssics i estudiarem la seva dinàmica en una tasca senzilla de presa de decisions.